Формула на филтъра на Батъруърт, уравнения и изчисления

Филтърът Butterworth е популярна форма на филтър, осигуряващ максимално плоска реакция в обхвата. Въпреки че най-често срещаният метод за изчисляване на стойностите в наши дни е използването на приложение или друг компютърен софтуер, все още е възможно да се изчислят с помощта на по-традиционни методи. Има формули или уравнения, които могат да бъдат съдени за тези изчисления и по този начин е възможно да се разберат компромисите и работата по-лесно.

Използвайки уравненията за филтъра на Батъруърт, сравнително лесно е да се изчисли и нанесе честотната характеристика, както и да се изработят необходимите стойности.

Честотна характеристика на филтъра на Батъруърт

Тъй като филтърът на Батъруърт е максимално плосък, това означава, че е проектиран така, че при нулева честота, първите 2n-1 производни за степенната функция по отношение на честотата да са нула.

По този начин е възможно да се изведе формулата за честотната характеристика на филтъра на Батъруърт:

${\displaystyle {\left|\frac{V_{\mathrm{навън}}}{V_{в}}\right|}^2=\frac{1}{1 +{\left(\frac{е}{{е}_{\mathrm{°\; С}}}\right)}^{2н}}}$

Където:
f = честота, при която се прави изчисление
е_{° С} = граничната честота, т.е. половин мощност или -3dB честота
Vin = входно напрежение
Vout = изходно напрежение
n = брой елементи във филтъра

Уравнението може да бъде пренаписано, за да се получи по-обичайният му формат. Тук H (jω) е трансферната функция и се приема, че филтърът няма печалба, т.е.не е активен филтър.

${\displaystyle \left|\mathrm{З.}\left(j\omega \right)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{°\; С}}}\right)}^{2н}}}}$

Където:
H (jω) = трансферна функция при ъглова честота ω
ω = ъглова честота и е равна на 2πf
ω_{° С} = граничната честота, изразена като ъглова стойност и е равна на 2πf_{° С}

Забележка: Няма значение дали ω / ωo или f / f_{° С} се използва, тъй като е чисто съотношение на двете цифри. Ако се използва ω, което е 2πf, тогава коефициентът 2π се отменя, както е в горната и долната част на фракцията.

Когато искате да изразите загубата на филтъра на Батъруърт във всяка точка, може да се използва формулата на Батъруърт по-долу. Това дава затихване в децибели във всяка точка.

${\displaystyle A_{д} =10{\mathrm{дневник}}_{10}(1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{°\; С}}}\right)}^{2н})}$

Пример за изчисляване на филтъра на Батъруърт

За да предоставите пример за реакцията на изчислението на филтъра на Батъруърт, вземете пример за схемата, дадена по-долу. Както е нормално при тези изчисления, се използват нормализирани стойности, когато граничната честота е 1 радиан, т.е. 1 / 2Π Hz, импедансът е 1 Ω и стойностите са дадени в Farads и Henries.

Примерът по-долу използва някои от най-простите стойности с импеданс 1Ω и стойности за кондензатора от 2 фарада и серийните индуктори по 1 Хенри.

Използвайки формулата по-горе и знанието за граничната точка, която е 0,159Hz, е възможно да се изчислят стойностите на реакцията при различни честоти:

Филтърни стълбове на Батъруърт

Полюсите на нискочестотен филтър на Батъруърт с гранична честота ωc са равномерно разположени около обиколката на полукръг с радиус ωc, центриран върху началото на s-равнината.

Полюсите на двуполюсен филтър са при ± 45 °. Тези на четириполюсния филтър са при ± 22,5 ° и ± 67,5 °. Други случаи също могат да бъдат изведени по подобен начин.

Таблицата по-долу обаче предоставя полюсите на нискочестотните филтри на Butterworth с един до осем полюса и гранична честота 1 rad / s, т.е.за нормализиран филтър.

Тези основни уравнения осигуряват основата за разработване на прост LC филтър на Butterworth, подходящ за RF и други приложения.

Гледай видеото: Функцията VLOOKUP във Microsoft Excel на български BG (Може 2022).